12/08/2026
〈高懸125年的「希爾伯特第六問題」終獲解決 〉
王虹和札爾（Joshua Zahl）共同破解高懸百年的三維掛谷猜想，成為第三位獲得菲爾茲獎的女性，因而特別受到矚目。其實另一位菲爾茲獎得主鄧煜的成就也不遑多讓，值得了解一下。
#物理公理化
1900年，大數學家希爾伯特在國際數學家大會上，提出23個最重要的有待解決的數學問題，像是著名的黎曼猜想及哥德巴赫猜想。其中第六個問題在裡面顯得格外特殊，因為其它都是純數學問題，但這第六個問題卻是關於物理學，而且它甚至不是某個特定物理問題，而是一個大哉問：物理學能否像數學那樣，從不證自明的基本公理出發，一步步嚴謹地推導出各式定理？就像歐幾里得的《幾何原本》中數百條定理，就都是源自於五大公設。
希爾伯特特別點名了氣體動力學。當時有兩個分析氣體的方程式，一個是從宏觀的角度，描述流體的密度、速度、壓力、溫度等之間的關係，稱為納維-斯托克斯方程式（Navier-Stokes Equations, 簡稱N-S方程式）。這個完成於1850年代的方程式雖然是從質量守恆、動量守恆、能量守恆等基本原理導出，不過卻把流體當成是一團連續的物質，完全不管宏觀現象和微觀的粒子行為有何關係。
#波茲曼方程式
直到1872年，奧地利物理學家波茲曼（Ludwig Boltzmann）才從原子論出發，提出波茲曼方程式。他假設氣體是由無數個像硬球的粒子組成，這些粒子無論穿梭在空間中，或是與其它粒子發生彈性碰撞，都遵循牛頓運動定律。當然，氣體粒子實在太多了，不可能一一計算每顆粒子的軌跡和動量如何變化。不過就像擲出100萬顆骰子後，我們不用知道每顆骰子的點數，也可以用統計學算出整體而言，不同點數的機率各是多少，波茲曼方程式便是描述某個時間點，具有特定動量的粒子，出現在特定空間位置的機率分布。
波茲曼方程式填補了介於微觀與宏觀之間的尺度（稱為「介觀」），但這不代表它就將宏觀的N-S方程式和微觀的牛頓力學連結起來。希爾伯特本人和其他數學家雖然在1910年代，從波茲曼方程式推導出N-S方程式，但所用的一些假設和限定的條件，從數學的角度來看並不夠嚴謹。
#分子混沌假說
就連波茲曼方程式本身也沒那麼牢固，因為它是基於「分子混沌假說」，也就是所有粒子在碰撞之前，都是互不相干的獨立個體，但實際上A粒子撞到B粒子後，有可能B撞到C，C又撞到A，這樣就不能說A、C碰撞之前互不相干了。氣體粒子數目如此龐大，這種情況應該不少，波茲曼方程式卻完全忽略不管，與微觀的牛頓力學還是沒有直接連結。
隨後數十年，許多數學家試圖證明分子混沌假說可以成立，但成果相當有限，直到1975年，美國數學家蘭福德（Oscar Lanford）才取得重大進展，成功從微觀粒子系統推導出波茲曼方程式。不過這只能維持非常短的時間（微秒尺度），之後隨著碰撞次數增加，粒子之間的關聯性呈指數成長，分子混沌假說很快就站不住腳，波茲曼方程式隨之驟然失效。
蘭福德的證明固然是個突破，卻也更令人懷疑氣體動力學是否終究無法像數學那樣環環相扣，從最基本的牛頓力學開始，逐步推導到宏觀現象。時間一年一年過去，這個問題益發顯得無解，沒想到2024年一篇數學論文橫空出世，題目〈從硬球動力學長期推導波茲曼方程式〉，宣告已經解決波茲曼方程式只能維持極短時間的問題。
#鄧煜
這篇論文的作者是出身於中國的年輕數學家鄧煜、馬驍，和美國數學家哈尼（Zaher Hani）三人，他們運用鄧煜之前研究紊流所用的方法，將氣體粒子的碰撞做成樹狀圖，再按關聯等級分類後，分割樹狀圖加以分析，證明了大部分碰撞都是各奔東西、不再互相影響，而像「A撞B、B撞C、C再撞A」這些情況，會在計算中互相抵銷，因此即使時間拉長，分子混沌假說仍然有效，波茲曼方程式還是成立。
鄧煜等人鞏固了蘭福德所建立微觀到介觀的通道，不僅如此，2025年，他們三人又發表一篇論文，標題就叫〈希爾伯特第六問題：由波茲曼動力論推導流體方程式〉，另外搭起一座介觀到宏觀之間的橋樑，沒有希爾伯特等人之前所提解法的缺陷。
至此，氣體動力學終於可以如希爾伯特期望的，從最基本的牛頓力學開始，如數學那樣嚴謹地推導出來。狹義而言（畢竟只是氣體動力學，並未包括其他物理學），希爾伯特第六問題在高懸125年終於獲得解決，扮演關鍵角色的鄧煜也於2026年獲頒堪稱數學最高榮譽的菲爾茲獎。
